### Berechnung der Bewertungen

#### Optimale Strategie und die Wahl einer Alternative

Über die optimale Strategie ist unter Kniffel - Wahrscheinlichkeiten und Punktzahlen bei optimaler Strategie nachzulesen. Untersuchungen finden sich auch im Artikel "An Optimal Strategy for Yahtzee" von James Glenn. Eingehend mit dem Thema beschäftigen sich auch die Seiten Solitaire Yahtzee: Optimal Player and Proficiency Test.

Es ist also durchaus denkbar, in jeder Situation die stochastisch günstigste Möglichkeit herauszufinden, um im Mittel eine möglichst hohe Punktzahl zu erreichen. Dazu sind allerdings umfangreiche Tabellen nötig, oder aber entsprechende Rechenkapazität. Ein weiterer Gesichtspunkt ist, dass Bots einfach zu gut spielen würden um menschlichen Spielern auf Dauer eine Chance zu lassen.

Aus den obenstehenden Ausführungen heraus wird daher eine alternative Methode verwendet, wie sie im Folgenden beschrieben wird. Immerhin werden auch bei dem alternativen Ansatz im Mittel über 90% der mittleren Punktzahl bei optimalem Vorgehen erreicht.

#### Gewichtungen als Grundidee

Für jeden Eintrag werden Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte berechnet in Anwendung einiger einfacher Regeln unter der Annahme, dass nur für diesen Eintrag eine möglichst hohe Punktzahl erzielt werden soll. Jeder freie Eintrag wird der Reihe nach abgearbeitet, wobei andere freie Einträge nicht zur einzelnen Bewertung herangezogen werden.

Unter Einhaltung einiger Regeln zur Auswahl der Würfel zum erneuten Werfen, die sich auch aus vereinfachenden Annahmen ergeben können, werden Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte gebildet. Die Regeln sind nicht notwendigerweise optimal, die sich daraus ergebenden Werte hingegen sind korrekt.

Für jeden Eintrag ist der Anfangserwartungswert (noch alle drei Würfe frei) bekannt. Alle schon erzielten Eintragsresultate und die restlichen Anfangserwartungswerte der freien Einträge - bis auf den gerade bearbeiteten - werden addiert. Statt des Anfangserwartungswertes des bearbeiteten Eintrags wird der Erwartungswert unter den gegebenen Umständen (Berücksichtigung des vorliegenden Wurfs und der Anzahl der Restwürfe) hinzu addiert. Insgesamt ergibt dies einen erwarteten Endstand für das laufende Spiel, und zwar für jeden noch freien Eintrag.

Es sind also alle Endstanderwartungswerte bekannt - für jeden freien Eintrag einer. Diese werden nun linear gewichtet: Der kleinste Wert erhält das Gewicht Null, der größte Wert bekommt das Gewicht Eins zugesprochen. Ausnahme: Falls alle Endstanderwartungswerte gleich sind, sind alle Gewichte 0,5. Diese Gewichte sind genau die Bewertungen, die auf Wunsch farblich abgesetzt als Tipps angezeigt werden.

Falls es mehrere beste Gewichtungen (also Bewertungen) gibt, wird diejenige ausgewählt, welche weiter oben in der Tabelle steht.

#### Erwartungswerte der Würfe

Der Erwartungswert besagt, wie viele Punkte im Mittel erzielt werden können. Das hängt neben den Auswahlregeln natürlich davon ab, wie gut der vorgelegte Wurf schon ist und wie oft noch gewürfelt werden darf.

##### Obere Einträge

Exemplarisch wird hier ein wenig näher auf die Verfahrensweise eingegangen. Die anderen, folgenden Einträge weiter unten werden kürzer abgehandelt, zumal auch umfangreichere Formeln und Beschreibungen nötig wären.

Auswahlregel: Alle Würfel mit der Augenzahl, die nicht dem gerade bearbeiteten Eintrag entsprechen, erneut würfeln.

Erwartungswert: Im Mittel werden bei n Würfeln in r Restwürfen np Punkte mit p = 1 - (5/6)r erzielt. Die Herleitung erfolgt über ein gedachtes n-stufiges Bernoulli-Experiment: Ein Sammelwurf (ein Würfel r-mal geworfen) wird n-mal hintereinander ausgeführt. Die Aufgabe besteht nun darin zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine fest vorgegebene Augenzahl (festgelegt durch den gerade bearbeiteten Eintrag) k-mal vorkommt bei den n Sammelwürfen. Die Augenzahl tritt bei einem Sammelwurf genau dann auf, wenn sie mindestens einmal beim r-maligen Würfeln erzielt wird. Das Ergebnis ist: `binom` (n,k)pk(1-p)n-k

##### Kleiner Pasch und großer Pasch

Auswahlregel: Kommen alle Augenzahlen nur einmal vor, werden alle Würfel neu geworfen. Ansonsten werden aus dem Wurf die Würfel ausgewählt, deren Augenzahl am häufigsten vorkommt. Ist die Auswahlmöglichkeit nicht eindeutig, werden die Würfel mit der größten Augenzahl bevorzugt. Ist schon ein kleiner bzw. großer Pasch erreicht, werden die verbleibenden Würfel wie bei der Chance so gewählt, dass im Mittel eine möglichst hohe Augenzahl erreicht wird.

Grundidee:

##### Full House

Auswahlregel: Behalte einen Drilling, sofern möglich. Ansonsten behalte zwei Zwillinge, sofern vorhanden. Gibt es nur einen Zwilling behalte diesen. Gibt es nur einzelne Augenzahlen, wirf alle Würfel erneut.

Grundidee: Es wird die Wahrscheinlichkeit v(k,r) berechnet, in r Restwürfen die k fehlenden Würfel zum Full House zu erwürfeln. Aus der Anzahl k der fehlenden Würfel ist die Aufteilung des vorliegenden Wurfes in Einlinge, Zwillinge oder Drilling (auch abgeleitet aus Vierling oder Fünfling) bekannt. Daraus lassen sich für alle k≠5 mittels Kombinatorik die Wahrscheinlichkeiten berechnen, für k=5 wird eine Rekursionsformel benötigt mit v(0,0):=1 und sonst v(k,0)=0:

- k = 0: v(k,r) = 1
- k = 1: v(k,r) = 1 - (2/3)r
- k = 2: v(k,r) = 1 - (5/6)r
- k = 3: v(3,1) = 7/72 und v(3,2) = 89/324
- k = 4: v(k,r) = 0 (zurückgeführt auf k = 5, alle Würfel verschieden)
- k = 5: v(k,r) = `summe`(u(k)v(k,r-1),k=0...5)

Obenstehend gibt u(k) die Wahrscheinlichkeit an, dass nach dem einem Wurf mit allen Würfeln noch k Würfel zu Full House fehlen.

##### Kleine Straße

Auswahlregel: Hier wird gezählt, wie viele günstige Augen außen (1 oder 6), innen (2 oder 5) oder mittig (3 oder 4) liegen. Augen werden einfach gezählt, bei mehrfachem Vorkommen wird nur ein Würfel genommen. Die Regeln lauten wie folgt:

1. Bei zwei inneren Augen werden diese behalten.
2. Kommt ansonsten nur ein inneres Auge vor und weder {1,2} noch {5,6} treten auf, so wird nur das innere Auge behalten.
3. Treffen die oberen Fälle nicht zu, wird entweder aus {1,2} oder {5,6} entnommen, je nachdem welche Wahl günstiger ist. Sind beide Paare möglich, entscheidet der Zufall.
4. Zu guter Letzt werden mittige Augen immer gewählt.

Grundidee: Es hat sich als sehr kompliziert erwiesen, eine geschlossene Darstellung zu finden. Deshalb wird hier ein Tabellenansatz verfolgt. In einer vorberechneten Tabelle steht in Abhängigkeit von einem Schlüssel, welche Wahrscheinlichkeit besteht, eine kleine Straße zu erzielen.

Der Schlüssel besteht aus:

- Anzahl der außen liegenden günstigen Augen (1 oder 6).
- Anzahl der innen liegenden günstigen Augen (2 oder 5).
- Anzahl der mittig liegenden günstigen Augen (3 oder 4).
- Anzahl der restlichen noch möglichen Würfe.

Hierbei werden die Anzahlen so gewählt, wie sich aus der Auswahlregel ergeben. Nur die tatsächlich ausgewählten Würfen tragen zur Zählung bei.

##### Große Straße

Auswahlregel: Falls eine 1 oder eine 6 vorkommt, wird eine davon zufällig ausgewählt und zurückbehalten. Für jede der Augen 2, 3, 4 oder 5 wird genau ein Würfel behalten, sofern er diese Augenzahl zeigt. Alle anderen Würfel werden in den Becher gelegt zum erneuten Würfeln. Diese Auswahlregel stellt eine Vereinfachung dar zur Strategie, mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit die große Straße zu erwürfeln. Insbesondere sind für die optimale Strategie die Regeln komplizierter, wann eine 1 oder eine 6 zu behalten sind.

Grundidee: Bei n Würfeln, die zur große Straße fehlen, bleiben n Positionen zur Belegung mit einer Augenzahl. Das Ziel ist, i unterschiedliche Augen, welche zur Straße benötigt werden, auf n Positionen zu verteilen. Mindestens diese i Augen müssen vorkommen (durchaus mehrfach), die restlichen Positionen werden anderweitig belegt. Die Positionen {1, ..., n} kann man in i Partitionen zerlegen. Die Anzahl der möglichen Partitionen kann mit den Stirlingzahlen der zweiten Art berechnet werden. Die Belegung der Partitionen aus n Augen lässt sich mit der fallenden Faktoriellen berechnen.

Aus der Grundidee ergibt sich der Erwartungswert unter Einsatz einer Rekursionsformel: Die Wahrscheinlichkeit zu einer großen Straße beträgt q(n,r) := `summe` (w(n,i)p(n-i,r-1)+v(n,i)q(n-i,r-1), i=0...n) , wobei n die Anzahl der fehlenden Würfel zu einer Straße ist, und r die Anzahl der Restwürfe bezeichnet. Im Weiteren sind unter Benutzung der Stirlingzahlen `S` der zweiten Art und der fallenden Faktoriellen `fallend` :

- p(n,r) := `summe` (u(n,i)p(n-i,r-1),i=0...n) liefert die Wahrscheinlichkeit, die restlichen Augen zu erwürfeln, falls 1 oder 6 schon vorhanden sind.
- q(n,r) ist wie oben definiert und beschrieben.
- u(n,i) := `summe` ( `S` (j,i) `binom` (n,j)(6-n)n-j,j=i...n) `fallend` (n,i) / 6n gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau i unterschiedliche Augen aus n vorgegebenen Augen mit n Würfeln zu erzielen, wobei die nicht vorgegebenen Augen beliebig oft auftauchen dürfen.
- v(n,i) := `summe` ( `S` (j, i) `binom` (n,j)(5-n)n-j,j=i...n) `fallend`(n-1,i) / 6n ist die Wahrscheinlichkeit, mit n Würfeln genau i unterschiedliche Augen aus n erlaubten Augen zu erwürfeln, wobei weder 1 noch 6 vorkommen darf; die restlichen Würfel dürfen alle allen anderen Augen aufweisen, wieder abgesehen von 1 und 6.
- w(n,i) := `summe` ( `S` (j,i) `binom` (n,j)(5-n)n-j,j=i...n) 2i `fallend` (n-1,i-1) / 6n + `summe` ( `S` (j,i+1) `binom` (n,j)(5-n)n-j,j=i+1...n) (i+1)i `fallend` (n-1,i-1) / 6n ergibt die Wahrscheinlichkeit, genau i unterschiedliche Augen aus n-1 erlaubten Augen mit n Würfeln zu erwürfeln, wobei zusätzlich 1 oder 6 vorkommen muss. Alle anderen Augen dürfen beliebig oft auftauchen.

##### JaFuffy

Auswahlregel: Sind alle Würfel verschieden, nochmals alle Würfel werfen. Ansonsten die Augenzahl mit den meisten Würfeln heraussuchen und alle anderen Würfel werfen; gibt es mehrere Augenzahlen für die höchste Würfelanzahl, wird eine Augenzahl zufällig herausgesucht.

Grundidee: Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, die fehlende Anzahl von Würfeln mit der benötigten Augenzahl zu erwürfeln. Dabei wird berücksichtigt, dass die zu verfolgende Augenzahl sich auch verändern kann. Wenn etwa ein Zwilling vorliegt, muss man mit einem möglicherweise erwürfelten Drilling fortfahren. Es erweist sich die Notwendigkeit einer Fallunterscheidung, wobei für einen Fall wieder ein Rekursionsansatz zum Tragen kommt.

Die Wahrscheinlichkeit zum Erzielen von JaFuffy bei k Würfeln mit gleicher Augenzahl und r Restwürfen betrage p(k,r). Außerdem bezeichne q(n,r) die Wahrscheinlichkeit bei n freien Würfeln n mal eine gleiche, fest gewählte Augenzahl zu erzielen. Zuletzt wird die Wahrscheinlichkeit gi benötigt, welche zur Erzielung von von maximal i gleichen Augenzahlen gehört, wobei es nicht auf die Augenzahl ankommt.

gi lässt sich durch etwas Überlegung ermitteln. Mit ähnlichen Überlegungen wie zum oberen Tabellenteil ergibt sich:

> q(n,r) = (1 - (5/6)r)n, wobei 00 := 1 ist.

Die Fallunterscheidung richtet sich nach der Anzahl k der fehlenden Würfel zum JaFuffy.

- k ≤ 1: p(k,r) = `summe`(gi p(i,r-1),i=1...5)
- k = 2: p(k,r) = (80q(2,r-1) + 15q(1,r-1) + 1 + 120p(2,r-1)) / 63
- k ≥ 3: p(k,r) = q(5-k,r)

##### Chance

Auswahlregel: Berechne den Mittelwert der zu erreichenden Punktzahl eines einzelnen Würfels für die Anzahl der bestehende Restwürfe. Ist der Mittelwert größer als die bereits vorliegende Augenzahl dieses Würfels, den Würfel erneut werfen.

#### Berücksichtigung der unterschiedlichen Spielregeln

Die obigen Ausführungen beziehen sich auf die klassischen Spielregeln.

Bei den Im-Hieb-Regeln wird zum Anfangserwartungswert der klassischen Spielregeln noch ein mittlerer Im-Hieb-Bonus hinzu addiert. Der mittlere Zusatzbonus ergibt sich als Produkt der Wahrscheinlichkeit für einen Eintrag mit dem ersten Wurf zu punkten, multipliziert mit dem Bonus (5 oder 30). Dieser um den Zusatzbonusbeitrag ergänzte Wert entspricht dem tatsächlichen Anfangserwartungswert bei der Anwendung von stochastischen Rechnungen für die Im-Hieb-Regeln. Dadurch erhält ein Ergebnis, welche im Hieb erzielt wurde, eine stärkere Gewichtung. Das Vorgehen entspricht genau dem Vorgehen, wie es oben bei den Gewichtungen als Grundidee geschildert ist.

#### Schwächen

Andere freie Einträge werden nicht zur Bewertung eines einzelnen Eintrags herangezogen. Das ist zum Beispiel ungünstig, falls ein JaFuffy erwürfelt werden soll aus dem Wurf 1, 1, 2, 2, 3. Dann können ohne weiteres die Einser-Würfel zum Verbleib ausgewählt werden, obwohl die Einser im oberen Teil schon gesetzt sein können und die Zweien noch nicht.

#### Mögliche Erweiterungen

Denkbar zur Beseitigung der eben beschriebenen Schwächen ist, für jeden Eintrag einige alternative Vorschläge abzuspeichern und in einem zweiten Schritt alle Alternativen miteinander abzugleichen. Ebenso können einige Auswahlregeln verbessert werden, beachte etwas das Zufallselement bei JaFuffy.

Momentan ist dies jedoch Zukunftsmusik, möglicherweise kommt dieser Gedanke zur Einführung zweier Spielstärken zum Einsatz.